第41章 勾股
傅顿和陆澈好一顿讲说自己编制算之六爻那套心得，陆澈只好也跟着学了一些，不过毕竟他有御市令职责在身，所以有事没事就要去街市上巡逻一番。
说起这一日，陆澈在街市上多走了几个街道，看着几处房屋铺面，看到那些屋顶街砖，想起傅顿说的那些运算之类的，突然心生一问，于是回到了傅顿旁边的摊位。
“傅老弟，前日你所说之勾股算律，实属神妙，不过老哥观街市砖屋等物，以其尺寸稍算之，即有疑。”陆澈问道：“似最简之勾股均为一，其弦按开方之法算之，此数颇怪，似乎无穷无尽且无规也。”
傅顿回答说：“老哥果然已遇勾股之本，勾股之律，为数形相合之锁钥。”
陆澈一惊：“等等！数形相合？数是数，形是形，各有其规，何来相合？”
傅顿说：“老哥且容细说之。”
“数者，计量所用，其有运算之律；形者，或方或圆或角，视之尚可，算则不易下手，往往取其性化数而量，如多选其边，以算其面幂等，遂使小弟思之，莫非数者用于形，仅有各边之量如面幂之算？幸有勾股一章，揭厚毡以窥，知数形可合。”
“再思数者，可用算筹以度之，长者为大，短者为小，反向为负。”
“再观形者，可用工尺以绘，边之连接，角之展大，皆为形之变。”
“而数形相合，即为数之运算可演形之定或变，似勾股之平方再和，得其弦也，反之若甲乙丙三数，丙之平方为甲乙平方之和，则丙必为圭[1]之勾股。”
“自此，数形环扣，数之运算律、形之演变，以一平方和式勾连紧密，便似那玉门关口，西域中原风情不同，而经玉门可通。”
“因二者如此相合，数之运算之律，可有形之所映，如勾股为一，则弦为二之开方；而勾股为一二，则弦为五之开方。以此法绘圭并量其勾股，再量弦之长，即可知弦之开方数。”
“又如圭之常见例，有双腰相等之圭，三边相等之圭，其形特，其律明；寻常之圭甚至四边七边乃至更多之边形，皆可条块分拆，而成多圭，并寻机用勾股之律探其特性也，此为勾股于形之大用。”
说到这，傅顿拿起一把豆说：“反之，勾股于数之大用，可先观此豆。寻常所见之数，如豆、石块、草木，均为一二三四累加之数，扩如方田之学，有子母相除之分数。然勾股所算之数，已开寻常难见之天地。”
“再观寻常所见累加之数，若以倍数为子，一为母，可统为分数之相；若母非一，子非倍，则可得无穷之微小数，其中有循环之理也，故可称有理之数。”
“然勾股之律，所算诸多数，非为累加之数，亦非有理之数，开方试之，竟难见循环之理，故可称无理之数也，且以傅某观，并以分数长微以验可知：两有理之数间，定有无穷无理之数，两无理之数间，亦有无穷有理之数。”
“故而勾股之律，非仅圭之勾股弦及图之分拆所用，亦可开数之新城，数形相合之力，可见一斑。”
陆澈听到此处，觉得比以前更明白了一些，不过还是回到了一开始的疑问：“那如傅兄弟所言，弦按开方之法算得之怪数，即为无理之数？此等数如何尽得之？”
傅顿回答说：“既为无理之数，尽得已无可能。此等皆为无穷之长微数也，且其中纵有局部连等，也终难成循环之理。”
“若要尽得此数，可用算经中所含之开方法算之，不过此法虽妙，终有运算冗长之感，亦可用二分之法切之而出。”
“二分之法？此为何物？”陆澈疑惑的问。
“此法可用开方，亦可开立方之算，如开五之平方，先预知五之开平方数，必在五之下，或在三之下亦可，并在一之上。”
“然后可定一、三为哨，取中所得之数平方与五论大小，若小则取中之数挪为下哨，若大则挪为上哨，如此循环，所得之数极近，即为五之开平方数也。”
陆澈想了一会说：“咦？此法较之算经所言之开平方，更为妙也？此法安出？”
傅顿说：“此之谓，数形相合也，勾股之圭，两边正垂，可令此二边遨游天地至无穷之长以表无穷之数，后以诸数绘于一边之上，分列大小，再用运算之规所得果数，量与因变之量定于面中，可得因变之图[2]。”
“细观因变之图，即有其势，如平方之因变，势必不如立方之因变迅猛也，此即为各因变之图之性，可观此图知开平方上下哨之法，得开平方之数也。”
“且因变之图，非限于开平方立方，观各图势，以数先量之，辅以运算之律推之，又有算其面幂等诸多运算之律，奥妙翻涌一时难以穷尽。”
说到此时，陆澈已经连开了两次水囊：“且住，且住，让老哥先缓缓，这般奥妙一时难以尽收，傅兄弟你这属实有点突寻常之规了。”
二人论说此事，不觉已至下午，陆澈想起今日当为御市令述职之日，于是收拾齐整，前往少府处。
李少府听完陆澈的述职，对陆澈这些时日安稳街市之功很是赞赏，然后又说近日石洋河要重修河道，需精熟商功、方田、少广、勾股之法者，正准备发试令召百人，先试再辟[3]，择三十优者而任，问陆澈日常巡逻街市，所见之人甚多，可有推荐。
陆澈一听此言，说少府您这事说的可真赶巧了，就我那摊位旁边，卖豆的那傅顿小兄弟，对这些甚是精熟。
李少府一听，说：“你旁边卖豆的那小兄弟？好像我见过，看着年约十五六，竟有如此之能？”
陆澈说：“应该差不了，等我回头和他说下，来参加您这试测，到时候您就知道了。”
于是李少府拿过一面试令木牌，说既然如此，把这个交给那卖豆小哥，五日后辰时，以此令为凭，来少府官署参加评试就是了。
[1]圭：指三角形。
[2]因变之图：函数图像。
[3]辟：三公以下召用人才称辟。