第1章 数学考试技巧
一场数学考试过后，蔚晓蓝找到武旭，希望他能传授给自己些考场上的技巧。蔚晓蓝对武旭说：“武旭啊，数学在考场上有什么技巧吗？”武旭说：“想必我们都知道中高考数学试卷的分值分布，因为我们最终的目的是取得一个满意的分数，有所侧重会使你的考试分数提高，而且是在毫不费力的情况下，只是在做题前有所侧重就好。先来看选择题，一般一共12道题，每题5分，共计60分。选择题可以说是最灵活的题型，如果你想考到130分左右，选择题最多只能错一个，而且必须在40分钟内做完。”蔚晓蓝接话说：“那么，怎么做选择题呢？”武旭说：“按照传统的观念，必须按照规则从头到尾写清楚计算过程，然后得出答案，但是我问了很多学霸，几乎没有每道题都计算的, 学霸们更倾向于从四个选项中 ‘挑选’正确答案, 选择题从不展开运算, 也就是说, 小题不大做, 他们一般不会采用常规方法达到目的, 他们只要达到得分的目的即可。”
第一种方法: 特殊值法。 用特殊值, 或特殊图形、 特殊位置代替题设的普遍条件, 得出特殊结论, 再对各个选项进行检验, 从而得出正确选择。 一般情况下, 特殊数值用0、 1, 特殊数列使用常数列, 特殊函数使用对勾函数f(x)=ax+bx(ab＞0) (对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数, 渐近线是x=y)。
特殊图形: 正三角形、 正方形特殊角: 180°、 90°、 60°。特殊对称: 中心对称、 轴对称等。
第二种方法: 排除法。 数学选择题的解题本质不是通过计算得结论, 而是去伪存真, 就是舍弃不符合题目要求的选项, 找到符合题意的正确结论。排除法就是通过观察分析或推理运算各备选项提供的信息, 对于错误的选项逐一剔除, 从而获得正确结论。
第三种方法: 直觉法。 逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位, 而直觉思维又是思维中最活跃、 最积极、 最具创造力的成分, 其实数学的真正本质就是逻辑, 因此, 作为选拔人才的命题人很自然要考虑对直觉思维的考查。
第四种方法: 测量法。 中、 高考的试卷制图是十分标准的, 因此考试时带一把标准的量角器和尺子, 大胆去测量数值, 然后进行预估, 也会助你一臂之力。
第五种方法: 始终用向量法做立体几何。 对于基础差的学生, 放弃辅助线的方法吧, 精炼你的向量法, 把时间全部用在向量法上会省去你思考的时间, 从而节省时间去做其他题。 无论如何, 你只要得分就可以了, 向量法把问题简单化, 省去思考环节, 直达中心。
第六种方法: 根号估算法, 考试前考生一定要牢记, 根号2=1414, 根号3=1732, 根号5=2236, 然后不会做的选择题可以直接将数代入后估算从而得出相近的答案。
数学考试是很容易拉开分数的一门考试, 考试前要告诉自己, 没必要所有的题都做出最精准的答案, 只做到大概准确即可, 大约70~80。 这样既可以节省时间, 又可以给大脑减压。 下面列举几道用上述方法得出答案的例题:
1 特殊值法
第一题 (2018年高考全国1卷选择题第二题):知集合 a={x|x2-x-2＞0},则 ra=( )。
a{x|-1＜x＜2}
b{x|-1≤x≤2}
c{x|x＜-1}u{x|x＞2}
d{x|x≤-1}u{x|x≥2}
这道题很简单, 但是我在这里抛砖引玉, 让大家对这种运用特殊值的解题模式有一个整体上的认识。首先, 答案肯定是有等于号的, 因为题目集合没有等于号, 所以其假子集有等于号, 排除 a、c, 剩 b、d, 在 b、 d 之中 代入0, 0是符合题目要求的, 所以选择答案 b。
第二题: 已知等差数列 {αn}的前n 项和为sn，等差数列{αn }的前n 项和为sn ,若a2n/an=4n-1/2n-1，则s2n/sn值为 ( ) 。a2 b3 c4 d8
解：用特殊值法解题，取 n= 1, 得 a 2/a 1=3 , 所以（a1+a2)/a1=4于是，当 n= 1时，s2n/sn=s2/s1=（a1+a2）/a1 =4, 因此选c。
第三题: (2018年高考全国1卷填空题第一题):若x,y满足约束条件x-2y-2≤0、x-y+1≥0、y≤0,则z=3x+2y的最大值为 ？
解:常规方法基本上就是作图找可行区域, 然后结合目标函数z=3x+2y寻找最大值。其实换一种思考角度, 目标函数的最大值肯定在范围内的三个交点上, 也就是说, 寻找到三个交点, 代入目标函数找最大值就可以了,方程两两联立求交点:1x≤0 1x-2y-2≤0 2y≤0 2x-y+1≥03x-2y-2≤0 3x-y+1≥0，两两联立得交点，解1得到x=2, y=0, 解2得到x=1, y=0, 解3得到x=-4, y=-3。显然, 代入x=2, y=0 到目标函数z=3x+2y, 可以得到最大值, 代入计算得到答案是6。牢记, 小题不大做, 节约小题时间去做其他题。
得到答案是6。 牢记, 小题不大做, 节约小题时间去做其他题。
2018年高考全国2卷也有同样的题, 大家可以自己使用这种方式去解题。x+2y-5≥0、x-2y+3≥0、x-5≤0,则目标函数z=x+y 的最大值为多少？
以上四道题只是具有一定的代表性, 本书将不再过多介绍, 希望考生在平时多做总结和积累, 去体会这种快速得结果的思路或模式。
2 排除法:
第一题: 方程ax2+2x+1=0,至少有一个负根的充要条件是 ( )。
a0＜a≤1 ba＜1 ca≤1 d0＜a≤1或a＜0
传统方法△≥0, 得到4-4a≥0 因此a≤1。 这道题很简单, 可以直接算。 我们再体验一下学霸用排除法做题: 题目要求至少有一个负根, 因此选项里面肯定有等于号, 排除 b, 在 a、 c、 d中选择, a=0得到方程ax2+2x+1=0是一条直线, x=-1/2, 满足条件, 有一个根, 排除 a、 d, 因此选择c, 用这种方法基本上可以不用动笔直接得出答案。
第二题: 已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像与x轴的交点至少一个在原点右侧,则实数m 的取值范围是 ( )。
a (0,1) b (0,1] c (-无穷,1) d (-无穷,1]
常规法不再介绍, 我们用省时间的特殊值法: 根据备选项我们将特殊值m=1代入函数, 则f(x)=x2-2x+1, 化简得 (x-1)2=0时, x=1符合条件, 排除 a、 c, 然后根据选项 b、d的差异, 将m=0代入函数f(x), 则f(x)=-3x+1, x=1/3时符合, 排除 b, 选 d。
3 估算法
不必进行准确计算, 只需对其数值特点和取值界限做出正确的判断。第一题: 若不等式组1x≤0、2y≥0、3y-x≤2 表示平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过 a 中的那部分区域的面积是( )。
a3/4 b1 c7/4 d2
可以画图，然后从图可知, 扫过的面积比1大, 比2小, 符合条件的只有选 c。
第二题: 在多面体 abcdef中,四边形 abcd是边长为3的正方形,且ef平行 ab,ef=15,ef与平面 abcd的距离为2,则该多面体的体积为 ( )。
a2/9 b5 c6 d15/2
连接 be与 ce, 如图所示, 则原多面体的体积为: 四棱锥 e-abcd 的体积和三棱锥 e bcf的体积之和。而e-abcd=1/3x9x2=6, 由局部的体积小于整体的体积可知: 原多面体的体积大于6, 从备选答案上来看, 只有选择 d。
在选择题的四个备选项中, 若有三个备选项都含有同一个元素，而另一个备选项不含有这种元素, 则称之为 “三无一有元”。 对有些极易发现 “三无一有元” 的选择题, 可以单独验证这个元素, 或通过估算来推断其真伪, 从而排除干扰项, 确定正确的选项。第三题: 设f(x)=lg2+x/(2-x),则f(x/2) +f(2/x)的定义域为 ( )。
a (-4,0)u (1,2) b (-4,-1)u (1,4)
c (-2,-1)u (1,2) d (-4,-2)u (2,4)
显然x=2 是 “三无一有元”, 且此时代入函数f(x)的x/2与2/x都能使f(x)有意义, 从而可选得 b。
第四题: 已知过球面上 a、b、c三点的截面到球心的距离等于球第四题: 已知过球面上 a、b、c三点的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 ab=bc=ca=2,则球面面积是 ( )。a16/9π b8/3π c4π d64/9π
解: 因为s球 =4πr2, 结合备选项, 发现只需要估算球的半径r 即可；设球半径r, △abc 的外接圆半径为r=(2倍的根号3)除以3,易知: r＞r, 从而s球=4πr2≥4πr2≥16π/3＞5π显然只有 d才有这个可能, 故应选 d。
采用估算法分析恰到好处, 若是先求球的半径 r, 再求其表面积, 则必是小题大做。
4 直觉法
第一题: 用长度分别为 2、3、4、5、6 的 5 根是小题大做。
4 直觉法
第一题: 用长度分别为 2、3、4、5、6 的5根细木棍围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到三角形的最大面积是 ( )。a8x根号5 b6x根号10 c3 x根号d55 d20
从我们的直觉中应该可以判断出组成6、 7 (2+5)、 7 (3+4) 的等边三角形面积最大。
海伦公式大家可以上网查一下, 可以计算在知道任意一个三角形三边长的前提下求出三角形面积，非常实用。
第二题: 在△abc中,cos∠a、cos∠b、cos∠c的最大值是 ( )。
我们根据日常直觉和经验可以知道当∠a=∠b=∠c=60°时, 其三者相我们根据日常直觉和经验可以知道当∠a=∠b=∠c=60°时, 其三者相乘1/2x1/2x1/2=1/8为最大值。
第三题 (2018年高考全国1卷选择题第十二题):正方体所得截面面积的最大值为 ( )。
当截得正六边形时, 它所截得的面积最大, 也就是说越接近圆形它的面积就越大。正六边形其中一边为 2分之根号2, 且可以将其看作6个正三角形, 面积为6乘以4分之根号3再乘以2分之根号2，等于4分之3倍的根号3。
5 猜题法
在这里教给考生几个时间来不及或者实在不会做的时候 “蒙” 题的方法,一般是最后一道选择题 (压轴选择题), 这是从设置答案者的心理学角度入手, 答案的设置其实也是有一定规律可循的。 不可能100正确, 仅供参考。第一种手, 答案的设置其实也是有一定规律可循的。 不可能100正确, 仅供参考。
第一种:
(1) 从两个最像的里面选。
(2) 选与另外两个最像的。
(3) 选与其他最接近的。
(4) 选与题干中数值对应的。
第一题 (2018年高考全国1卷): 已知正方体的棱长为1,每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方形所得截面面积的最大值为 ( )。
a4分之3倍的根号3 b3分之2倍的根号3 c4分之3倍的根号2 d2分之根号3
我们从答案入手, 第一步, 从两个最像的里面选, 选出 a、 c, 然后第二步是选与另外两个最像的, b与d当中分子都有 根号3, 因此选答案 a。
第二题 (2018年高考全国1卷): 在长方体 abcd-a1b1c1d1 中,ab=bc=2,ac1 与平面 bb1c1c所成的角为30°,则长方体的体积为 ( )
a8 b6倍的根号2 c8倍的根号2 d8 倍的根号3
显然, 从c与d中选或者从b与c中选。 当从c与d中选时, b选项有根号2, 因此选 c。 当从 b与 c中选时, 选项 d有8, 因此也选 c。
第三题 (2018年高考全国 2 卷): 在长方体abcd-a1b1c1d1 中,ab=bc=1,aa1= 3,则异面直线 ad1 与 db1 所成角的余弦值为 ( )。
a1/5 b6分之根号5 c5分之根号5
d2 分之根号2
b与c相似, 排除 a 与 d, a 与 c接近, 选 c。
第四题 (2018年高考全国1卷): 已知双曲线1/3x2-y2=1,o为坐标原点，f为c的右交点，过 f的直线与 c的两条渐近线交于 m、n,若△omn为直角三角形,则|mn|= ( )。
a3/2 b3 c2倍的根号3 d4
b与 d 接近, 都是整数, 从 b、d里面选 , 而 a、c 中都有 3, 因此选b。
第二种: 最大值与最小值的猜题方法。
第五题: 设 abcd是同一个半径为4的球面上的四点,△abc为等边三角形且其面积为9倍的根号3,则三棱锥d-abc的体积的最大值为 ( )
a12倍的根号3 b18倍的根号3 c24倍的根号3 d54倍的根号3
首先, 选项 d 明显与其他三个选项数值差距较大, 故排除。剩下的 a、b、c三个选项的公差是6倍的根号3, 怎么选呢 一般会是中间的那个。
如果是最小值呢？
第六题: 已知圆 (x-1)2+ (y-1)2=2,点p 在直线y=x+3上,线段ab为圆的直径,则pa→xpb→的最小值为 ( )。
a2 b5/2 c3 d7/2
选项都相差1/2, 这时我们选第二小的, 选项 b (如果是让选最大值, 我们选第二大的)。
第三种: 向量模长的计算选择题猜题技巧。
向量模长的计算过程中, 因为涉及开方、 平方, 也就是先平方再开方,所以在答案设置中, 一般会有两个互为开平方运算的两个数, 根据这两个互为开平方的数再选择开完方的数。
第七题: 已知平面向量a,b夹角为60度,且向量a=(2,0),|b|=七题: 已知平面向量a,b夹角为60度,且向量a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|=( )。
a根号 3 b2倍的根号3 c4 d12
|a+2b| 一定是开完平方的数字。12的开平方是2倍的根号3, 因此大概率选b。
第八题 (2018年高考全国2卷)。 已知角a顶点为原点,始终与x轴的非负半轴重合,终边上有两点 a (1,a)、b (2,b),且cos2a=2/3,则|a-b|=( )
a1/5 b5分之根号5 c5分之2倍的根号5 d1
选项b是选项 a 的开平方, 猜 b。
按照这种出题人的思路, 我们在解答体积、 面积类的选择题时, 体积一般是长、 宽、高相乘, 面积是长、宽相乘, 因此在不会解答的前提下, 体题大概率选择两个选项中相差三倍且小的那一个, 面积题大概率选择两个选项中相差两倍且小的那一个。
再来给大家讲一道填空压轴题———三式模型。
第九题: 定义在r 上的函数f(x)满足f(-x)+f(满足f(-x)+f(x)=cosx,又当x≤0时,f&39;(x)≥1/2成立,若f(t)≥f(π/2-t)+根号2/2cos(t+π/4) ,则实数t的取值范围是多少？
对于三式1f(t)、 2f(π /2-t) 、 32分之根号2cos(t+π/4)，求范围的运算, 我们不用展开计算， 直接用第三式不等式两个函数的变量f(t)、 f(π /2-t )中的t≥π/(2-t)即可，得到得到t≥π/4就是正确答案。
最后, 再看看三角函数周期率的简便算法:
第十题: 函数y=sin2x+3倍的根号3sin2x的最小正周期为( )。
当y=sinwx或是y=coswx 时, 周期 t=
2π/w
解: sin2x的周期为 2π/(1x2)=π,3倍的根号3sin2x的周期为2π/1x2=π, 则其整个式子y=sin2x+3倍的根号3sin2x的最小正周期为sin2x与3倍的根号3sin2x的周期最小公倍数π。
第十一题: 函数f(x)=sin(2x-π/6)-5倍的根号2sin2x 的最小正周期是
解: sin(2x-π/6)的最小正周期为 2π/1x2=π,5倍的根号2sin2x的最小正周期为 2π/2x1=π, 其整个式子f(x)=sin(2x-π/6) -5根号2sin2x的最小正周期为sin(2x-π/6)的最小正周期与5倍的根号2sin2x 最小正周期的最小公倍数π。
上面总结的这些题型, 只是为了抛砖引玉, 其真正目的还是让广大考生认识到, 120分钟的时间, 150分的分值, 并不是每一道题都需要经过烦琐的计算才可以得分的。 通过日常的积累, 我们的得分也能总结出一个公式, 那就是 “得分≥会做”, 无论用什么方法, 我们心中一定要明确, 就是所有的考题绝对不是仅有一种解题方法, 很多题是不需用烦琐的方法计算的, 节省下来时间就好。不管用何种方法, 只要尽量得分就可以了。同时在日常学习时要结合上一章的学习策略方法, 你的成绩将会有所突破。